Krets og digitalteknikk

Krets

Terminologi og definisjoner

Symboler og enheter

Ulike typer komponenter

Passiv fortegnskonvensjon

Når referanseretningen for strømmen gjennom et kretselement er i samme retning som referansespenningsfallet over elementet (inn på positiv terminal, ut på negativ), skal positivt fortegn brukes i uttrykk som relaterer spenningen til strømmen. Ellers skal negativt fortegn brukes.

Ohms lov

Proposjonalitet mellom spenning over og strøm gjennom en motstand.

$$U = R \cdot I$$

med $P = U \cdot I$ følger det at

$$P = R \cdot I^2$$

og at

$$P = \frac{U^2}{R}$$

Konduktans

Konduktans angir ledningsevne, og er gitt ved

$$G = \frac{1}{R}$$

Konduktans kan være praktisk der resistansen er og skal være lav.

Resistans

Total resistans i seriekobling er gitt ved

$$R_{ser} = \sum_i R_i \\ = R_1 + R_2 + ... + R_n$$

Total resistans i parallellkobling er gitt ved

$$R_{par} = \left( \sum_i \frac{1}{R_i} \right)^{-1} \\ = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\right)^{-1}$$

Dersom kretsen ikke kan beskrives ved en kombinasjon av serie og parallellkoblinger, må det gjøres en tilnærming. Eks: H20 Oppgave 1.

Strømdeling

I en seriekobling er strømmen konstant. La $I$ være den totale strømmen gjennom en parallellkobling, $R_{par}$ være den totale resistansen i koblingen og $R'$ være resistansen i en gren. Da er strømmen gjennom grenen gitt ved

$$I' = I \, \frac{R_{par}}{R'}$$

Spenningsdeling

I en parallellkobling er spenningen konstant. La $U$ være den totale strømmen gjennom en seriekobling, $R_{ser}$ være den totale resistansen i koblingen og $R'$ være en resistansen til en komponent. Da er spenningen over komponenten gitt ved

$$U' = U \, \frac{R'}{R_{ser}}$$

Spole

Ved $t = 0$ er det kontinuitet i spolestrømmen. Ved $t \rightarrow \infty \implies u(t) \rightarrow 0$ (kortslutning) Fluksen gjennom en spole er gitt ved

$$\Phi = L \cdot I$$

Spenning

$$u(t) = L \cdot i'(t)$$

Strøm

$$i(t) = I_0+\frac{1}{L}\,\int_{t_0}^t u(x)\,dx$$

Energien i en spole er gitt ved

$$W = \frac{1}{2}\,LI^2$$

Kondensator

Ved $t = 0$ er det kontinuitet i kondensatorspenning. Ved $t \rightarrow \infty \implies i(t) \rightarrow 0$ (åpen sløyfe) Spenningsdifferansen i en kondensator produserer et elektrisk felt. Feltstyrken er gitt ved

$$\epsilon = \frac{U}{d}$$

der $d$ er avstanden. Strøm

$$i(t) = C \cdot u'(t)$$

Spenning

$$u(t) = U_0+\frac{1}{C}\,\int_{t_0}^t i(x)\,dx$$

Energien i en kondensator er gitt ved

$$W = \frac{1}{2}\,C\,U^2$$

Kapitans

Er gitt ved

$$C = \frac{Q}{U}$$

Total kapitans i seriekobling er gitt ved

$$C_{ser} = \left( \sum_i \frac{1}{C_i} \right)^{-1} \\ = \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}\right)^{-1}$$

Total kapitans i parallellkobling er gitt ved

$$C_{par} = \sum_i C_i \\ = C_1 + C_2 + ... + C_n$$

Kirchhoffs lover

Strømloven

I et forgreningspunkt er summen av strømmer inn lik summen av strømmer ut. Alternativt, la $I_i$ angi strømmer inn til et forgreningspunkt, da gjelder

$$\sum_i I_i = 0$$

Spenningsloven

Summen av alle spenningsendringer i en sløyfe er lik 0. La $U_i$ angi spenninger over komponentene i en sløyfe, da gjelder

$$\sum_i U_i = 0$$

Kildekonvertering

Thévenin-ekvivalent

• Definer og marker utgangsterminalgrensesnittet (typisk mot lastmotstanden).

• Fjern alt utenfor terminalgrensesnittet.

• Regn ut spenningen mellom de åpne terminalene. Dette er $U_{Th}$.

• Kortslutt terminalene, og regn ut kortslutningsstrømmen $I_k$. $R_{Th}$ er gitt ved $\frac{U_{Th}}{I_k}$.

  Alternativt kan en finne $R_{Th}$ ved å nullstille alle kildene og regne ut resistansen mellom åpne terminaler. Den ekvivalente Thévenin-kretsen er da bygget opp av en spenningskilde med $U_{Th}$ og en resistans $R_{Th}$ i serie.

Norton-ekvivalent

Finn $U_{Th}$ og $R_{Th}$ på samme måte som i en Thévenin-ekvivalent. Den ekvivalente Norton-kretsen er da bygget opp av en strøm med $I = \frac{U_{Th}}{R_{Th}}$ og en resistans $R_{Th}$ i parallell.

Avhengige spennings- og strømkilder

Disse er kilder som ikke har fast verdi. Verdien er proposjonal med en styrestrøm eller styrespenning et annet sted i koblingen.

• Spenningsforsterkning: $U_0 = A \cdot U_x$
• Strømforsterkning: $I_0 = B \cdot I_x$
• Transkonduktans: $I_0 = g \cdot U_x$
• Transresistans: $U_0 = r \cdot I_x$

Knutespenningsmetoden

En systematisk fremgangsmåte for å analysere en vilkårlig kobling. Metoden virker likevel ikke for grener med spenningskilde uten resistans, da anvender vi superknutemetoden.

• Finn og marker alle forgreningspunkter. Ett av disse skal være jordreferanse. Resten skal indekseres $a, b, c, ...$ . Jord er ofte negativ terminal på en kilde.
• Bruker Kirchhoffs 1. lov (strømloven) i hvert indekserte knutepunkt. Sett opp uttrykk for hver av grenstrømmene ved hjelp av spenningsreferansen mot forgreningspunktet i motsatt ende av grenen.
• Resultatet er $n$ knutelikninger der det finnes $n$ ulike knutespenninger. Disse ordnes i et likningssett og løses ved for eksempel innsetting, Gauss-eliminasjon, Cramers regel eller matriseinvertering.
• Grenstrømmene kan eventuelt finnes ved hjelp av Ohms lov og andre regler.

Superknutemetoden

Superknutemetoden er en versjon av knutespenningsmetoden som brukes for grener med spenningskilde utens resistans. Metoden går ut på å definere en felles superknute for forgreningspunktene på hver side av spenningskilden. Obs: dette gir flere ukjente enn likninger, men man bruker spenningsdiffereransen mellom forgreningspunktene som tilleggslikning.

Superposisjonsmetoden

Superposisjonsmetoden kan ikke brukes dersom det er ulineære komponenter i koblingen.

• Velg ut en kilde, og nullstill alle de andre.

• Nullstille spenningskilde: $U = 0V$, dvs. kortslutning.

• Nullstille strømkilde: $I = 0A$, dvs åpen sløyfe / brudd.

  Analyser denne koblingen med tanke på den aktuelle strømmen eller spenningen. Resultat: strømbidrag / spenningsbidrag.

• Repeter steg 1 for alle kilder etter tur.

• Delbidragene skal adderes for å finne den aktuelle strømmen / spenningen.

Effektiv verdi - RMS

Effektiv verdi, eller Root Mean Square, er den konstante verdien som leverer samme effekt som et varierende DC-signal ville levert i den samme belastningen. La $V(t)$ være et varierende signal med periode $T$. Da er effektiv verdi gitt ved

$$V_{RMS} = \sqrt{\frac{\int_0^T V(t)\,dt}{T}}$$

RMS for noen vanlige signaler

• Sinussignal med amplitude A: $V_{EFF} = \frac{A}{\sqrt{2}}$
  • Sagtannsignal med amplitude A: $V_{EFF} = \frac{A}{\sqrt{3}}$
• Firkantsignal med amplitude A: $V_{EFF} = A$

PMOS- og NMOS-transistorer

Hvordan disse kan brukes som brytere

Virkemåten er baser på at konduktiviteten (ledningsevnen) til en ledende kanal i halvlederen kan varieres ved at en ekstern spenning (gate-spenningen) varieres. Anrikningstype MOSFET er normalt av (ingen ledende kanal) og transistoren fungerer som en åpen bryter mellom Drain og Source. Ved å påtrykke en negativ spenning på Gate i en PMOS-transistor opprettes en p-kanal mellom Drain og Source og transistoren fungerer da som en lukket bryter sett mellom Drain og Source. I en NMOS-transistor må det påtrykkes en positiv spenning på Gate for å opprette en n-kanal mellom Drain og Source. At kanalene (P-kanal og N-kanal) opprettes skyldes felteffekt. Transistoren styres vha Gate-spenningen. Det går ingen strøm inn i Gate pga det isolerende oksid-laget.

Maksimal frekvens

Det vil alltid være en viss motstand i n-kanalen og p-kanalen som genereres. Denne motstanden kan ekvivaleres med en R. Mellom Gate og halvlederen etableres det en ladning på hver side av oksid-laget. Dette gir opphav til en kapasitans C. Å opprette ladning eller flytte ladning vil ta en viss tid gitt av størrelsen på R og C i vår enkle modell. Hastigheten på hvor fort transistorene kan slås av/på er gitt av tidskonstanten av type $\tau = RC$.

CMOS-transistor og inverterer

Kombinasjonen av PMOS- og NMOS-transistorer danner et komplementært sett av transistorer som kalles CMOS-transistorer (Complementary Metal Oxide Semiconductor). I dette tilfellet er disse transistorene brukt i en inverter.

Digitalteknikk

Toerkomplement

I et tall på binær toerkomplement-form teller det første bitet negativt. Omgjøring mellom standard binær og toerkomplement (og tilbake!) gjøres ved

$$T = \overline{B} + 1$$

Mintermer og makstermer

En minterm $m_i$ har den egenskapen at den er lik 1 i nøyaktig én rad i sannhetstabellen. En maksterm $M_i$ er lik 0 i nøyaktig én rad i sannhetstabellen. Eksempel:

• $F = \overline{x}\overline{y}\overline{z} + \overline{x}\overline{y}z + xyz$
• $F = m_0 + m_1 + m_2 = \sum \, (0, 1, 7)$
• $F = M_2 \cdot M_3 \cdot M_4 \cdot M_5 \cdot M_6 = \prod \, (2, 3, 4, 5, 6)$

Karnaughdiagram og kubediagram

Tabellmetoden

Overflyt

Hvis man legger sammen to tall A og B med samme fortegn, men R får forskjellig fortegn, har man overflyt. Da er resultatet ugyldig.

Oppsetningstid og holdetid

Oppsetningstid er tiden signalet må være gyldig før klokkeendring. Holdetid er tiden signalet må være gyldig etter klokkeendring.

Vipper (flipflops)

D-vippe

$Q_{next} = D$.

T-vippe

Høy $T$ inverterer.

SR-vippe

Høy $S$, lav $R$ gir $1$. Høy $R$, lav $S$ gir $0$.

JK-vippe

Lik SR-vippe, men høy høy gir toggle.

Kritisk sti

Kritisk sti er maksimal forsinkelse mellom inngang og utgang.

Maksimal klokkefrekvens

Maksimal klokkefrekvens er gitt ved

$$f_{max} = \frac{1}{t_{min}}$$