courses/tma4105 ✨

Table of Contents

Matematikk 2

Ulike koordinatsystemer

Kartesiske koordinater

Kartesiske koordinater er det vanligste koordinatsystemet. Koordinataksene xx, yy og zz står vinkelrett på hverandre.

Polarkoordinater

Polarkoordinater er vanlige å bruke dersom en har å gjøre med sirkulære objekter i R2\mathbb{R}^2. rr bestemmer lengden fra origo, og θ\theta bestemmer vinkelen. Det omgjøres fra kartesiske koordinater ved

x=rcos⁡θy=rsin⁡θdx dy=r dr dθx = r\cos{\theta}\\ y = r\sin{\theta}\\ dx\,dy = r\,dr\,d\theta

Vanlige grenser er

0≤r≤R0≤θ≤2π0 \leq r \leq R\\ 0 \leq \theta \leq 2\pi

der R er radien til sirkelen.

Sylinderkoordinater

Sylinderkoordinater er en utvidelse av polarkoordinater, som inkluderer en zz-akse. Det omgjøres fra kartesiske koordinater ved

x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=zdx dy dz=r dr dθ dzx = r\cos{\theta}\\ y = r\sin{\theta}\\ z = z\\ dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz

Vanlige grenser er

0≤r≤R0≤θ≤2π0≤z≤H0 \leq r \leq R\\ 0 \leq \theta \leq 2\pi\\ 0 \leq z \leq H

der R er radien til sylinderen og H er høyden.

Kulekoordinater

Kulekoordinater er vanlige å bruke dersom en har å gjøre med kuleformede objekter i R3\mathbb{R}^3. ρ\rho bestemmer lengden fra origo, θ\theta bestemmer vinkelen i xyxy-planet og ϕ\phi bestemmer vinkelen i zrzr-planet. Det omgjøres fra kartesiske koordinater ved

x=ρsin⁡ϕcos⁡θy=ρsin⁡ϕsin⁡θz=ρcos⁡ϕdx dy dz=ρ2sin⁡(ϕ) dρ dθ dϕx = \rho\sin{\phi}\cos{\theta}\\ y = \rho\sin{\phi}\sin{\theta}\\ z = \rho\cos{\phi}\\ dx\,dy\,dz = \rho^2\sin(\phi)\,d\rho\,d\theta\,d\phi

Vanlige grenser er

0≤ρ≤R0≤θ≤2π0≤ϕ≤π0 \leq \rho \leq R\\ 0 \leq \theta \leq 2\pi\\ 0 \leq \phi \leq \pi

der R er radien til kulen.

Jacobi-determinanten

Gitt en koordinattransformasjon

T(u,v)=(x(u,v), y(u,v))T(u, v) = (x(u, v),\,y(u, v))

så er Jacobi-determinanten til TT definert som

J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂uJ(u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}

og

dA=dx dy=∣J(u,v)∣du dvdA = dx\,dy = \left| J(u, v) \right| du\,dv

Gitt en koordinattransformasjon

T(u,v,w)=(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w))T(u, v, w) = (x(u, v, w),\,y(u, v, w),\,z(u, v, w))

så er Jacobi-determinanten til TT definert som

J(u,v,w)=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∣∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w∣J(u, v, w) = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}

og

dV=dx dy dz=∣J(u,v,w)∣du dv dwdV = dx\,dy\,dz = \left| J(u, v, w) \right| du\,dv\,dw

Eksempel: Polarkoordinater

La

T(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)T(r, \theta) = (r\cos{\theta}, r\sin{\theta})

da har vi at

J(r,θ)=∂(x,y)∂(r,θ)=∣∂(rcos⁡θ)∂r∂(rcos⁡θ)∂θ∂(rsin⁡θ)∂r∂(rsin⁡θ)∂θ∣=∣cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ∣=rJ(r, \theta) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial (r\cos{\theta})}{\partial r} & \frac{\partial (r\cos{\theta})}{\partial \theta} \frac{\partial (r\sin{\theta})}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin{\theta})}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & r\cos{\theta} \end{vmatrix} = r

og

dx dy=r dr dθdx\,dy = r\,dr\,d\theta

Eksempel: Oppgave 5 Høst 2018

Vi ønsker å gjøre transformasjonen u=x2+y2u = x^2 + y^2, v=y2xv = \frac{y^2}{x}. Merk at det her er uu og vv som er uttrykt ved xx og yy. Dette gir inverstransformasjonen

T−1(x,y)=(x2+y2,y2x)T^{-1}(x, y) = (x^2+y^2, \frac{y^2}{x})

da har vi at

J′(x,y)=∂(u,v)∂(x,y)=∣∂(x2+y2)∂x∂(x2+y2)∂y∂(y2x)∂x∂(y2x)∂y∣=∣2x2y−y2x22yx∣=2y(2+y2x2)J'(x, y) = \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} & \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} \frac{\partial (\frac{y^2}{x})}{\partial x} & \frac{\partial (\frac{y^2}{x})}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 2y\\ -\frac{y^2}{x^2} & \frac{2y}{x} \end{vmatrix} = 2y \left(2 + \frac{y^2}{x^2}\right)

der J′J' er Jacobi-determinanten til inverstransformasjonen T−1T^{-1} Igjen, merk at vi har gjort transformasjonen "andre veien", så

du dv=∣J′(x,y)∣ dx dy   ⟹   dx dy=12y(2+y2x2) du dvdu\,dv = |J'(x, y)|\,dx\,dy \,\implies\, dx\,dy = \frac{1}{2y \left(2 + \frac{y^2}{x^2}\right)}\,du\,dv

Kurver

Buelengde

La CC være en glatt kurve parametrisert ved r(t)r(t), a≤t≤ba\leq t \leq b. Da er lengden av CC gitt ved

S=∫ab∣r′(t)∣dtS = \int_a^b \left| r'(t) \right| dt

Enhetstangent, enhetsnormal og krumning

La r(t)r(t) være en glatt parametrisering av en kurve CC.

  • Enhetstangent: T^(t)=r′(t)∣r′(t)∣\hat{T}(t) = \frac{r'(t)}{\left| r'(t) \right|}

  • Enhetsnormal: N^(t)=T^′(t)∣T^′(t)∣\hat{N}(t) = \frac{\hat{T}'(t)}{\left| \hat{T}'(t) \right|}

  • Krumning: K(t)=∣T^′(t)∣∣r′(t)∣K(t) = \frac{\left| \hat{T}'(t) \right|}{\left| r'(t) \right|}

    For normalvektor til et plan, se Tangentplan og normalvektor

Areal av omdreiningslegeme

La CC være en kurve parametrisert ved r(t)=(X(t), Y(t))r(t) = (X(t),\,Y(t)), a≤t≤ba \leq t \leq b. Overflatearealet AxA_x som fremkommer ved å dreie CC om xx-aksen er gitt ved

A=2π∫ab∣Y(t)∣∣r′(t)∣dtA = 2\pi \int_a^b \left| Y(t) \right| \left| r'(t) \right| dt

Overflatearealet AyA_y som fremkommer ved å dreie CC om yy-aksen er gitt ved

A=2π∫ab∣X(t)∣∣r′(t)∣dtA = 2\pi \int_a^b \left| X(t) \right| \left| r'(t) \right| dt

Areal omsluttet av parametrisk kurve

La CC være en kurve parametrisert ved r(t)=(X(t),Y(t))r(t) = (X(t), Y(t)), a≤t≤ba \leq t \leq b, og anta at X(t)X(t) er deriverbar og Y(t)Y(t) er kontinuerlig på [a,b]\left[ a, b \right]. La AA være arealet begrenset av CC, xx-aksen og linjene x=X(a)x=X(a) og x=X(b)x=X(b). Da gjelder

  • Hvis X′⋅Y≥0X' \cdot Y \geq 0 på [a,b]\left[ a, b \right], så er A=∫abX′(t) Y(t) dtA = \int_a^b X'(t)\,Y(t)\,dt
  • Hvis X′⋅Y≤0X' \cdot Y \leq 0 på [a,b]\left[ a, b \right], så er A=−∫abX′(t) Y(t) dtA = -\int_a^b X'(t)\,Y(t)\,dt

Funksjoner av flere variable

Gradient

Gradienten til et skalarfelt er et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren. La FF være et skalarfelt i R2\mathbb{R}^2. Da er ∇F\nabla F gitt ved

∇F(x,y)=(∂F∂x, ∂F∂y)\nabla F(x,y) = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y} \right)

La FF være et skalarfelt i R3\mathbb{R}^3. Da er ∇F\nabla F gitt ved

∇F(x,y,z)=(∂F∂x, ∂F∂y, ∂F∂z)\nabla F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z} \right)

Retningsderivert

La ff være deriverbar i a∈Dfa \in D_f og la u være en retningsvektor. Da den retningsderiverte gitt ved

Duf(a)=∇f(a)⋅uD_{u} f(a) = \nabla f(a) \cdot u

Egenskaper ved den retningsderiverte

Husk at prikkproduktet mellom to vektorer kan uttrykkes ved vinkelen α\alpha mellom dem:

Duf(a)=∇f(a)⋅u=∣∇f(a)∣∣u∣cos⁡α=∣∇f(a)∣cos⁡αD_{u} f(a) = \nabla f(a) \cdot u = \left| \nabla f(a) \right| \left| u \right| \cos{\alpha} = \left| \nabla f(a) \right| \cos{\alpha}

Dette gir følgende egenskaper:

  • ff øker mest når α=0\alpha = 0, altså når u=∇f(a)∣∇f(a)∣u = \frac{\nabla f(a)}{\left| \nabla f(a) \right|}.
  • ff minker mest når α=π\alpha = \pi, altså når u=−∇f(a)∣∇f(a)∣u = - \frac{\nabla f(a)}{\left| \nabla f(a) \right|}.
  • ff endres ikke når α=π/2\alpha = \pi / 2, altså når u⋅∇f(a)=0u \cdot \nabla f(a) = 0.

Tangentplan og normalvektor

Likningen for tangentplanet til z=f(x,y)z = f(x, y) i punktet (a,b,f(a,b))(a, b, f(a, b)) er gitt ved

z=f(a,b)+∂f∂x(a,b)(x−a)+∂f∂y(a,b)(y−b)z = f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)(x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)(y - b)

Normalen til z=f(x,y)z = f(x, y) i punktet (a,b)(a, b) er gitt ved

N^=(∂f∂x(a,b), ∂f∂y(a,b), −1)\hat{N} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a, b),\,\frac{\partial f}{\partial y}(a, b),\,-1 \right)

Gitt tre punkter AA, BB og CC, er normalen til planet som dannes av punktene gitt ved kryssproduktet av to vektorer mellom punktene

N^=AB→×AC→\hat{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}

Å finne og klassifisere punkter

Kritiske punkter

Kritiske punkter for ff er punkter der

  • ∇f=0→\nabla f = \overrightarrow{0}

  • Singulære punkter: der ∇f\nabla f er udefinert

    Merk! Dersom en skal finne ekstremalpunkter på et lukket område, må en også undersøke randpunktene. Dette gjøres ved parametrisering av randen eller ved Lagranges multiplikatormetode med randen som betingelse. Indre kritiske punkter (ikke randpunkter) kan klassifiseres ved andrederiverttesten.

Lagranges multiplikatormetode

En metode for bestemmelse av ekstremalverdier av en funksjon med flere variabler når disse må oppfylle en eller flere bibetingelser. Eksempel: Gitt f(x,y)=4x+yf(x, y) = 4x + y, med betingelse g(x,y)=x2+y2−4=0g(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0

  • La Lagrangefunksjonen L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)=4x+y+λx2+λy2−4λL(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) = 4x + y + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 4 \lambda

  • Finn løsninger av likningssettet ∇L=0→\nabla L = \overrightarrow{0}

    Løsningene vil være ekstremalpunkter for ff. Gitt flere betingelser legger man dem til i LL, med hver sin variabel.

Andrederiverttesten

La f(x,y)f(x, y) være en funksjon av to variabler. Anta at (a,b)(a, b) er et indre kritisk punkt og at de andrederiverte av f er kontinuerlige i nærheten av (a,b)(a, b). Sett

A=∂2f∂x2(a,b),B=∂2f∂x ∂y(a,b)=∂2f∂x ∂y(a,b)C=∂2f∂y2(a,b),A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (a, b),\\ B = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} (a, b) = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} (a, b)\\ C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (a, b),

og

D=AC−B2D = AC-B^2

Da gjelder:

  • Hvis D<0D < 0, så er (a,b)(a, b) et sadelpunkt.
  • Hvis D>0D > 0 og A>0A > 0, så er (a,b)(a, b) et lokalt minimumspunkt.
  • Hvis D>0D > 0 og A<0A < 0, så er (a,b)(a, b) et lokalt maksimumspunkt.
  • Hvis D=0D = 0 gir testen ingen konklusjon.

Linjeintegral

Linjeintegralet av et skalarfelt f=f(x,y,z)f = f(x, y, z) langs en kurve C⊂R3C \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en glatt parametrisering r(t)r(t), t∈[a,b]t \in [a,b] er gitt ved

∫cf ds=∫abf(r(t)) ∣r′(t)∣dt\int_c f\,ds = \int_a^b f(r(t))\,\left| r'(t) \right| dt

Lengde av kurve

Det følger at lengden av en kurve C⊂R3C \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en glatt parametrisering r(t)r(t), t∈[a,b]t \in [a,b] er gitt ved

∫c1 ds=∫ab∣r′(t)∣dt\int_c 1\,ds = \int_a^b \left| r'(t) \right| dt

Masse av streng

Dersom δ\delta angir massetetthet per lengdeenhet, og kurven C⊂R3C \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en glatt parametrisering r(t)r(t), t∈[a,b]t \in [a,b] angir posisjonen til en streng i rommet, er massen til strengen gitt ved

m=∫cδ ds=∫abδ(r(t)) ∣r′(t)∣dtm = \int_c \delta\,ds = \int_a^b \delta (r(t))\,\left| r'(t) \right| dt

Flateintegral

Flateintegralet av et skalarfelt f=f(x,y,z)f = f(x, y, z) over en flate S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en parametrisering r(u,v)r(u, v), u0≤u≤u1u_0 \leq u \leq u_1, v0≤v≤v1v_0 \leq v \leq v_1 er gitt ved

∬Sf dS=∫v0v1∫u0u1f(r(u,v))∣∂r∂u×∂r∂v∣ du dv\iint_S f\,dS=\int_{v_0}^{v_1}\int_{u_0}^{u_1} f(r(u,v)) \left| \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \right|\,du\,dv

der

∂r∂u=(∂x(u,v)∂u, ∂y(u,v)∂u, ∂z(u,v)∂u)∂r∂v=(∂x(u,v)∂v, ∂y(u,v)∂v, ∂z(u,v)∂v)\frac{\partial r}{\partial u} = \left( \frac{\partial x(u, v)}{\partial u},\, \frac{\partial y(u, v)}{\partial u},\, \frac{\partial z(u, v)}{\partial u} \right)\\ \frac{\partial r}{\partial v} = \left( \frac{\partial x(u, v)}{\partial v},\, \frac{\partial y(u, v)}{\partial v},\, \frac{\partial z(u, v)}{\partial v} \right)

Areal av flate

Det følger at arealet av en flate S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en parametrisering r(x,y)=(x,y,f(x,y))r(x, y) = (x, y, f(x, y)), x0≤x≤x1x_0 \leq x \leq x_1, y0≤y≤y1y_0 \leq y \leq y_1 er gitt ved

∬S1 dS=∫y0y1∫x0x1∣∂r∂x×∂r∂y∣ dx dy=∫y0y1∫x0x11+(∂f∂x)2+(∂f∂y)2 dx dy\iint_S 1\,dS = \int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} \left| \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y} \right|\,dx\,dy\\ = \int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy

Masse av flate

Dersom δ=δ(x,y,z)\delta = \delta(x, y, z) angir massetetthet per lengdeenhet, og flaten S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 er gitt ved en parametrisering r(x,y)=(x,y,f(x,y))r(x, y) = (x, y, f(x, y)), x0≤x≤x1x_0 \leq x \leq x_1, y0≤y≤y1y_0 \leq y \leq y_1, er massen av flaten gitt ved

∬Sδ dS=∫y0y1∫x0x1δ(x,y,f(x,y)) ∣∂r∂x×∂r∂y∣ dx dy=∫y0y1∫x0x1δ(x,y,f(x,y)) 1+(∂f∂x)2+(∂f∂y)2 dx dy\iint_S \delta\,dS = \int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} \delta(x, y, f(x, y))\, \left| \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y} \right|\,dx\,dy\\ = \int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} \delta(x, y, f(x, y))\, \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy

Middelverdisetningen

Anta at f(x,y)f(x, y) er kontinuerlig på et lukket, begrenset og sammenhengende område D∈R2D \in \mathbb{R}^2. Da finnes det et punkt (x0,y0)∈D(x_0, y_0) \in D der ff tar sin middelverdi (gjennomsnittsverdi), gitt ved

f‾=f(x0,y0)=1areal(D) ∬Df(x,y) dA\overline{f} = f(x_0, y_0) = \frac{1}{areal(D)}\,\iint_D f(x, y)\,dA

Massesenter

Gitt en masse m=f(δ)m = f(\delta), er massesenteret gitt ved

(x‾,y‾,z‾)=(f(xδ)m,f(yδ)m,f(zδ)m)(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = \left( \frac{f(x\delta)}{m}, \frac{f(y\delta)}{m}, \frac{f(z\delta)}{m} \right)

Vektorfelt

Divergens

Divergens gir størrelsen til en kilde eller et sluk i et gitt punkt i et vektorfelt, i form av en skalar med fortegn. La F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y))F(x, y) = \left(f_1(x, y), f_2(x, y)\right). Da er divergensen gitt ved

∇⋅F=∂f1∂x+∂f2∂y\nabla \cdot F = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y}

La F(x,y,z)=(f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z))F(x, y, z) = \left(f_1(x, y, z), f_2(x, y, z), f_3(x, y, z)\right). Da er divergensen gitt ved

∇⋅F=∂f1∂x+∂f2∂y+∂f3∂z\nabla \cdot F = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}

Divergensteoremet

La DD være et regulært område i R3\mathbb{R}^3 med rand S=∂DS = \partial D som er en orientert og lukket flate, der enhetsnormalen N^\hat{N} peker ut av DD. Hvis FF er et glatt vektorfelt definert på DD, så er

∭D∇⋅F dV=∬SF⋅N^ dS\iiint_D \nabla \cdot F\,dV = \iint_S F \cdot \hat{N}\,dS

Divergensteoremet i planet

La RR være et regulært område i xyxy-planet. Anta at randen C=∂RC = \partial R består av en eller flere glatte, enkle, lukkede kurver som er positivt orienterte med hensyn på RR. La N^\hat{N} være den ytre enhetsnormalen på CC. Hvis F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y))F(x, y)=(f_1(x, y), f_2(x, y)) er et glatt vektorfelt definert på RR, så er

∬R∇⋅F dA=∮CF⋅N^ ds\iint_R \nabla \cdot F\,dA = \oint_C F \cdot \hat{N}\,ds

Curl

Curl beskriver den infinitesimale rotasjonen av et vektorfelt, i form av en vektor i ethvert punkt i feltet. Egenskapene til denne vektoren (lengden og retningen) beskriver rotasjonen i punktet. La F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y))F(x, y) = \left(f_1(x, y), f_2(x, y)\right). Da er curlen gitt ved

∇×F=(0,0,∂f2∂x−∂f1∂y)\nabla \times F = \left(0, 0, \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} \right)

La F(x,y,z)=(f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z))F(x, y, z) = \left(f_1(x, y, z), f_2(x, y, z), f_3(x, y, z)\right). Da er curlen gitt ved

∇×F=(∂f3∂y−∂f2∂z,∂f1∂z−∂f3∂x,∂f2∂x−∂f1∂y)\nabla \times F = \left( \frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z}, \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} \right)

Stokes' teorem

La SS være en stykkevis glatt, orientert flate i R3\mathbb{R}^3 med enhetsnormal N^\hat{N}, der randen til SS, C=∂SC = \partial S, består av en eller flere stykkevis glatte, lukkede kurver med orientering bestemt av orienteringen til SS. Hvis FF er glatt på en åpen mengde som inneholder SS, så er

∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅N^ dS\oint_C F \cdot dr = \iint_S (\nabla \times F) \cdot \hat{N}\,dS

Greens Teorem (Stokes' teorem i planet)

La SS være et regulært område i xyxy-planet. Anta at randen CC består av en eller flere stykkevis glatte, enkle, lukkede kurver med positiv orientering med hensyn på RR. Hvis F(x,y)=((f1(x,y),f2(x,y))F(x, y) = ((f_1(x, y), f_2(x, y)) er et glatt vektorfelt definert på RR, så er

∬R(∂f2∂x−∂f1∂y)=∮Cf1(x,y) dx+f2(x,y) dy=∮CF⋅dr\iint_R \left( \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} \right) = \oint_C f_1(x, y)\,dx + f_2(x, y)\,dy\\ = \oint_C F \cdot dr

Konservative vektorfelt

Et vektorfelt FF i et område D⊆R3D \subseteq \mathbb{R}^3 er konservativt hvis og bare hvis det finnes et skalarfelt ϕ\phi slik at

F(x,y,z)=∇ϕ(x,y,z)F(x,y,z) = \nabla \phi(x, y, z)

for alle (x,y,z)∈D(x, y, z) \in D. Vi kaller ϕ\phi en potensialfunksjon for FF i DD. Det er verdt å merke seg at for et konservativt vektorfelt FF så er ∇×F=0→\nabla \times F = \overrightarrow{0} For et konservativt vektorfelt FF med en potensialfunksjon ϕ\phi, og en kurve CC parameterisert ved r(t)r(t), a≤t≤ba \leq t \leq b gjelder

∫CF⋅dr=ϕ(b)−ϕ(a)\int_C F \cdot dr = \phi(b) - \phi(a)

dette henger sammen ved at for konservative vektorfelt er integralet uavhengig av veivalget mellom start- og endepunkt av kurven.

Linjeintegral i vektorfelt

Linjeintegralet av et vektorfelt FF langs en kurve C⊂R3C \subset \mathbb{R}^3 gitt ved en glatt parametrisering r(t)r(t), t∈[a,b]t \in [a, b] er gitt ved

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅∂r∂t dt\int_C F \cdot dr = \int_a^b F(r(t)) \cdot \frac{\partial r}{\partial t}\,dt

Om C er lukket (eller "kan lukkes") kan Stokes' Teorem eller Greens Teorem være nyttig. Alternativt kan linjeintegralet uttrykkes ved enhetstangenten til rr, T^\hat{T}

∫CF⋅dr=∫CF⋅T^ ds\int_C F \cdot dr = \int_C F \cdot \hat{T}\,ds

Flateintegral i vektorfelt

For et vektorfelt FF er fluksen gjennom en orientert flate SS gitt ved

∬SF⋅N^ dS\iint_S F \cdot \hat{N}\,dS

der N^\hat{N} er enhetsnormalen til SS i positiv retning i forhold til orienteringen av SS. Om S er lukket (eller "kan lukkes") kan Divergensteoremet være nyttig.